Claude Cadoz (Claude.Cadoz@imag.fr)
ACROE[1], 46 Avenue Félix Viallet 38000 Grenoble
Résumé. -- Cet article décrit une étude et une simulation des processus de percussion à partir d'un modèle élémentaire élaboré à l'aide du formalisme CORDIS-ANIMA. Le modèle de percussion minimal est basé sur une interaction à deux états entre deux masses ponctuelles. Étudié selon toutes les possibilités de variations offertes par ses paramètres, le modèle permet de mettre en évidence des catégories sonores bien distinctes. L'étude de ces catégories a été effectuée en mettant en correspondance les trois formes de représentation : - le modèle physique générateur, - le signal numérique, - le phénomène sonore résultant et sa perception. Mots clés : modélisation physique, synthèse sonore, percussion.
Nous faisons l'hypothèse qu'il existe des invariants perceptuels (esthésiques[2]) basés sur la relation physique : percuteur / objet sonore percuté. Ces invariants seraient indépendants dans une certaine mesure du processus d'identification de l'objet sonore présenté ; nous cherchons alors un modèle générique de percussion pour les mettre en évidence.
Nous utilisons le formalisme de modélisation et simulation des objets physiques CORDIS-ANIMA (développé à l'ACROE, [Cadoz et al. 1990]).
Notre méthode d'investigation s'appuie sur une mise en correspondance des trois niveaux de représentation en cause : la description physique du modèle de production, la perception du son, l'analyse du signal.
Partant de ces considérations nous avons mis en oeuvre un modèle de percussion élémentaire. Il nous semble intéressant d'explorer le potentiel sonore d'une relation linéaire traduisant la compression d'un élément ad'hoc entre le percuteur et l'objet percuté. Le percuteur est une masse ponctuelle Mp dotée d'une vitesse initiale vop. La structure vibrante est une masse ponctuelle Mc reliée à un point fixe par une liaison visco-élastique linéaire de raideur Kc et de viscosité Zc. Nous l'appelons Cellule. Le son obtenu est issu de la variation de la position de la masse Mc au cours du temps. Le corps intermédiaire est modélisé par une liaison visco-élastique linéaire de raideur Kl et de viscosité Zl effective lors du contact percuteur-Cellule. Bien que Tous les mouvements sont unidimensionnels selon l'axe y. On remarquera que dans ce modèle volontairement simplifié, la prise en compte du geste instrumental se réduit à la donnée d'une vitesse initiale.
L'interaction est telle que lorsque la position
du percuteur est inférieure à la position
de la masse de la Cellule, la liaison viscoélastique de type
s'installe entre les deux masses. Dès que le percuteur est au-dessus de
la masse de la Cellule, la liaison disparaît. Le percuteur est alors une
masse libre. Nous appelons "butée viscoélastique" ce type de
liaison (cf Figure 1).
Figure 1. Modèle élémentaire de percussion. Mc, Kc, Zc : masse, raideur et viscosité de la Cellule. Mp : masse du percuteur. Kl, Zl : raideur et viscosité de la butée viscoélastique.
ypo et yco étant les positions initiales respectives du percuteur et de la masse de la Cellule, le système est décrit suivant l'approche fonctionnelle ci-dessous :
(état libre) (état lié)
Les conditions initiales s'écrivent :
Ce système d'équations bien que trivial n'admet aucune solution analytique.
La simulation en CORDIS-ANIMA du système (I, II, III) est discrète. La discrètisation est telle que le pas temporel est de Te. Les vitesses et les accélérations issues des signaux discrets des positions respectives du percuteur (indice p) et de la masse de la cellule (indice c) sont décrites de la façon suivante :
Le signal de force discret
de la butée viscoélastique entre le percuteur et la masse de la
Cellule est tel que :
Le paramètre Vpo, vitesse initiale du percuteur, n'est pas pris en
compte. Il a été fixé à 1m.s-1. En
effet, ce paramètre contrôle exactement l'amplitude du signal
sonore. Il suffit de remarquer que le système (I, II, III)
est invariant par une transformation de coordonnée
ou
et que la modification de la vitesse initiale du percuteur revient à
faire ce type de transformation. On sait que la sensation d'intensité
sonore est relativement bien corrélée avec l'amplitude du signal
sonore. Elle varie à peu près suivant le logarithme de
l'amplitude. Dans un contexte sonore pauvre comme celui de la percussion simple
(son isolé) la relation se vérifie d'autant mieux.
Chaque son simulé est l'objet d'une analyse en terme de signal. En particulier, nous nous sommes intéressés aux grandeurs suivantes :
- le temps de monté qui caractérise la durée entre l'instant où la Cellule est au repos et l'instant où la Cellule atteint une amplitude maximale ;
- le nombre de contacts lors de la percussion, défini par le nombre d'aller-retour du percuteur vers la masse de la Cellule ;
- l'énergie transmise au système Cellule-butée par le percuteur, égale à la différence entre l'énergie cinétique du percuteur à l'instant initial et l'énergie cinétique du percuteur après la percussion ;
- le rapport d'attaque, défini par le rapport entre l'amplitude maximale de la Cellule lors de l'attaque et l'amplitude maximale de la Cellule après le dernier contact.
Nous disposons des trajectoires temporelles du percuteur et de la masse de la Cellule. L'analyse des sons par spectrogramme est réalisée à l'aide du logiciel Audiosculpt développé à l'Ircam[3].
Nous avons procédé à une analyse esthésique des sons produits. Ils sont échantillonnés à 44,1KHz et ont été calibrés préalablement. L'écoute se déroule en deux étapes. Premièrement, les sons, dont l'identification est masquée, sont groupés suivant leur similarité perceptive. Deuxièmement, les groupes ainsi construits sont réécoutés, réarrangés si nécessaire, et font l'objet d'une description verbale. On caractérise l'attaque et la résonance des sons de percussion à l'intérieur de chaque groupe.
Ainsi, nous avons mené deux séries d'expérimentations. La première est constituée de l'ensemble des combinaisons (Mp, Kl, Zl) des grandeurs suivantes :
Mp = 10-7 , 10-6, 10-5, 10-4, 10-3Kg,
Kl = 1, 10 , 100 , 103, 104 Nm-1,
Zl = 10-5, 10-4, 10-3, 10-2, 10-1 Nsm-1 ;
soit 125 sons de deux secondes.
La deuxième est constituée de l'ensemble des combinaisons (Mp,Kl) des grandeurs ci-après :
Mp = 10-7, 10-6, 10-5, 10-4, 10-3 , 3.16.10-7, 3.16.10-6, 3.16.10-5,
3.16.10-4, 3.16.10-3, 3.16.10-2, 3.16.10-1 Kg,
Kl = 1, 10, 100 , 103, 104 , 3.16, 3.16.101, 3.16.102, 3.16.103 Nm-1,
pour une valeur de frottement de liaison fixe, Zl = 10-5 Nsm-1 ; soit 90 sons.
Figure 2a Figure 2b
Figure 2c Figure 2d
Figure 2. Quatre configurations de signal : delta (d) : interaction limitée à la communication d'une force, delta-p (dp) : similaire avec rapport d'attaque>1, liée (L) : un seul contact, maillage (M) : contacts multiples.
En analysant les différents timbres produits, nous avons identifié six catégories sonores et deux qualités. Les catégories sont désignées par les lettres A, A', B, B', C et C', les qualités par les mentions attdbl et attsrd. La qualité attdbl correspond à une sensation d'attaque percussive double. La qualité attsrd est liée à l'impression de hauteur subjective grave du transitoire. Il s'agit de l'attribut de hauteur spectrale correspondant au centre de gravité spectrale[4] (c.g.s.).
La catégorie A semble être représentée par un seul candidat, un son de "sinusoïde amortie" sans identité d'attaque perceptible.
La catégorie A' contient des sons A avec une attaque plus sèche ; on remarque un léger effet de pincement.
Les attaques de la catégories B évoque un choc "massique" comme la percussion de deux boules de billard. On a l'impression que les objets percutés sont lourds.
Les timbres B', prochent de B, se caractérisent par le fait que la sensation d'attaque double se situe au seuil de l'acuité temporelle. Un référent posible est le bruit d'un sabot de cheval sur des pavés.
Les attaques de la catégorie C s'apparentent aux consonnes labiales comme le "B" ou le "P". Les sons C peuvent évoquer le bruit que fait un bouchon de liège au sortir d'une bouteille ou encore celui d'un ballon sous-gonflé percutant un sol en ciment.
La figure 3 montre la répartition des catégories à l'intérieur de l'espace des paramètres physiques (Mp, Kl).
Figure 3. Correspondance poïetique-esthésique du percuteur à Cellule fixe. A: son de "sinusoïde amortie", percussion neutre, A': son A très sec, effet de pincement, B : son "massique", choc de boules de billard, B' : son B au seuil de fusion de la qualité attdbl, C : labiale, évoque la consonne "P", C' : labiale, évoque la consonne "B", att dbl : qualité, sensation d'une attaque double, attsrd : qualité, sensation de hauteur spectrale grave
En mettant en correspondance ces deux analyses (figure 4) nous remarquons une forte corrélation entre ces deux espaces de représentation. Il est clair que l'attaque du signal contient potentiellement toute l'information esthésique mais la sensibilité et la complexité esthésique sont en général différentes de la sensibilité et de la complexité dans l'espace du signal. Ici elles sont comparables. Trois zones principales se dégagent avec un axe tangible à masse du percuteur importante. Les paramètres de production (paramètres poïétiques[5] ) varient beaucoup puisque l'échelle est logarithmique. Le maillage réalisé décrit à peu près la sensibilité auditive des opérateurs. En effet, des explorations plus fines des paramètres Mp et Kl rendent difficile la caractérisation esthésique. On remarquera un zone particulière (encerclée dans la figure 3) qui contient les catégories A, B et C.
Figure 4. Correspondance poïetique-neutre-esthésique du percuteur à Cellule fixe.
Les quatre configurations de signal combinées aux catégories sonores nous ont conduit à parler de forme percussive.
forme d :
Elle est la plus représentée. Identifiable facilement, elle ne comporte aucune nuance. Bien que l'espace des paramètres poïetiques soit vaste, deux sons d ne pourront être différentiés. Ceci se conçoit bien puisque l'interaction percuteur-percuté se réduit à une force communiquée durant environ 1/3 de la période de la Cellule. De plus, la Cellule se comporte vis à vis du percuteur comme un un point fixe (masse importante). Il y a identité entre l'information esthésique A et l'information sur le signal, la forme d.
La forme dp :
Elle est très similaire à la précédente. Deux contacts la caractérisent. La différence au niveau du signal est dans le rapport d'attaque. Le percuteur est renvoyé par la cellule qui perd alors une grande partie de son énergie lors du deuxième contact. Ce phénomène est analogue au renvoi du marteau par le front d'onde de la corde du piano. L'amplitude de l'attaque est donc grande vis à vis de celle de la résonance.
forme L :
Elle est caractérisée par une phase de contact relativement longue. Elle illustre le comportement du système lié (II). La masse du percuteur est grande. Les catégories B, B' et A sont présentes. À masse du percuteur importante, quel que soit la raideur de liaison, la perception d'une attaque double intervient. Il s'agit nullement d'un rebond réel du percuteur sur la structure. L'effet diminue lorsque Zc diminue. Durant la phase de contact, la Cellule qui oscille a le temps de dissiper de l'énergie. Lorsque le percuteur refait surface, il se comporte comme un générateur de force. La Cellule est de nouveau excitée et s'amortit de nouveau. Un effet similaire est obtenu lorsque Zl augmente (cf. 4.1.2 et figure 10 en annexe). Cette qualité influence l'identification uniquement lorsqu'il y a ambiguïté entre la perception d'une attaque simple ou double ; c'est la catégorie B'. Les sons A observés à faible raideur Kl et masse Mp importante traduisent le fait que les attaques de forme L ne constituent plus une unité perceptive. L'excitation revient à appliquer deux forces ponctuelles, l'une en début de contact, l'autre en fin, entre deux instants grands par rapport à la période de la structure vibrante.
Tab 1. Caractéristiques des formes percussives génératives, les
grandeurs en italiques sont moyennées sur l'ensemble des sons.
forme d forme dp forme L forme M
masses Mp~ Mp~ Mc Mp~ Mp~
Mc/10 100.Mc 100.Mc
raideurs Kl~ Kl~ Kl~ Kc Kl~
4.Kc 16.Kc / 2 40.Kc
catégor- A A' B et C et C'
ies neutre pincemen B' "B" et
sonores t choc "P"
massiqu
e
Temps 0.7ms 1ms 15ms 5ms
de
montée
nombre 1 1.8 1 9
de
contacts
énergie 50% 8% 0.2% 1%
transmis
e
rapport 1 12 60 10
d'attaqu
e
forme
M :Ici, la non-linéarité du processus intervient de façon prépondérante. La raideur de liaison et la masse du percuteur sont importantes. Les contacts sont multiples. Deux catégories sonores correspondent à ce mode d'interaction. Les sons C' sont provoqués par un nombre de contacts importants. Les sons C ont une propriété remarquable : ils sont le siège d'une modulation de fréquence durant l'attaque. Le sonagramme d'un son C avec une fenêtre d'analyse très courte exprime clairement cet effet (cf. annexe Figure 9.). Par filtrage, nous pouvons montrer que les hautes fréquences sont responsables de cette identité.
Les formes génératives d, dp, L, M sont bien décrites par la connaissance du temps de monté et du nombre de contacts. Les combinaisons des critères nombre de contacts et temps de montée permettent de regrouper les formes (cf figure 5)
Figure 5. Variation du temps de monté et du nombre de contacts par rapport aux formes percussives. Ces deux critères permettent de grouper les formes percussives.
Au delà, pour un Zl plus important on observe que sur les trois formes L, M, d, l'augmentation de ce paramètre provoque : - la diminution puis la suppression des oscillations durant l'attaque, - la diminution du nombre de contacts, - l'augmentation de l'énergie transmise, - la diminution légère du Temps de monté.
Enfin, un phénomène très original apparaît à percuteur léger (Mc/10) et à raideur de liaison très faible (Kc/100). Il s'agit d'un changement de fréquence à l'attaque. Le percuteur reste très longtemps au dessous de la masse de la Cellule et vibre de concert avec elle (pendant 50 millisecondes). Cette faible masse attachée à la Cellule diminue la fréquence de résonance de l'oscillateur. Bien que faible physiquement, la masse additionnelle représente 1/10 de la masse de la Cellule. Cela correspond à un intervalle de hauteur de 70 cents ; cet intervalle se perçoit tout de suite. Le timbre évoque une goutte d'eau (cf figure 6).
Figure 6. forte viscosité ,faible raideur de la Butée viscoélastique et percuteur léger : le percuteur vibre de concert avec la Cellule durant 50 ms
Lorsque Zl est de l'ordre de 0.1 N.s.m-1, on atteint rapidement une zone de divergence numérique.
Nous avons expérimenté l'ensemble des combinaisons (Mc, Kc, Zc) des grandeurs suivantes :
Mc = 10-7, 10-6, 10-5, 10-4, 10-3 Kg,
Kc = 1, 10, 100 , 103, 104 Nm-1,
Zc = 10-5, 10-4, 10-3, 10-2, 10-1 Nsm-1 ;
soit 125 sons de deux secondes.
La caractérisation esthésique est assez difficile. L'objectif initial était de montrer la faiblesse de la méthode d'expérimentation basée sur une Cellule vibrant à 503Hz. Cette expérience n'a pas permis de dégager des relations intéressantes.
Cependant, la variation de l'amortissement de la Cellule Zc provoque du point de vue perceptif trois phénomènes très connus que nous rappelons. À amortissement moyen, la modification du paramètre est liée exactement à la perception de la durée de la résonance du son. Elle ne modifie aucunement la perception de l'attaque. À fort amortissement, la résonance disparaît. La perception de l'attaque devient très différente. Il est possible que notre système auditif se focalise alors sur la hauteur spectrale[6] de l'impact. À faible amortissement, nous avons remarqué que l'identité de l'attaque se perdait au profit de la résonance. Les détails qui peuvent nous guider dans la ségrégation des attaques se noient si l'amortissement de la Cellule diminue. Ceci est une évidence pour un analyseur temps-fréquence. Plus le signal de percussion présente un faible amortissement, plus sa réponse en fréquence est étroite ; donc l'aspect temporel de ce signal est occulté par la dualité temps-fréquence.
De plus, il est apparu, à l'issue du balayage en fréquence de la Cellule percutée, des identités sonores ponctuelles et très remarquables. Une forme d évoque fortement la percussion d'un Djembé. Des percussions d'objets en verre sont apparues également.
Nous avons étudié l'ensemble des combinaisons (Mp,Mc,Kl) des valeurs suivantes :
Mp = 10-7 ; 10-6 ; 10-5 ;10-4 ; 10-3 Kg,
Mp/Mc = 0,01 ; 0,1 ; 1 ; 10 ; 100,
Kl = 1 ; 10 ; 100 ; 1000 ; 10000 Nm-1,
Zl = 10-5 Nsm-1 ;
soit 125 sons pour fc=503Hz et [[Tau]] = 2 secondes.
L'analyse de ces sons donnent les mêmes catégories esthésiques et les même configurations de signal que l'analyse à percuteur variable. On retrouve les formes M et L pour un rapport Mp/Mc grand, et la forme d pour un rapport faible. La différence est que le lien entre les formes percussives et l'espace poïetique est réalisé plus facilement. En effet, si on se place à rapport Mp/Mc constant et Kl fixe, la variation simultanée des masses Mp et Mc génère l'ensemble des configurations de signal. Plus précisément, l'augmentation des deux masses, à fc, [[tau]], Mp/Mc et Kl fixent, permet de passer de M à d, de d à dp, de dp à L et cela suivant un ordre toujours respecté. Lorsque le rapport Mp/Mc devient grand (de l'ordre de 100), les formes percussives d, dp ne figurent plus ; le système passe continûment de M à L (cf figure 7 et 8). Ce passage est important : d'une part car la plus grande variété des identités sonores est située dans cette zone (percuteur lourd ) ; d'autre part car la variation des masses contrôle finement le nombre de contacts réalisés. Ceci constitue le résultat essentiel de notre étude.
Figure 7. Continuité poïetique d'une forme liée Figure 8. forme LM , Kl = 100 N.m-1,
vers une forme maillage Mp = 10-3 Kg, Mc = 10-5 Kg.
- la vitesse initiale du percuteur contrôle explicitement l'intensité sonore ;
- la viscosité de liaison agit peu sur le timbre ;
- les masses et la raideur de la liaison contrôlent le timbre ;
- le temps de montée et le nombre de contacts sont pertinents pour l'analyse esthésique.
Enfin la variation conjuguée des masses Mp et Mc, à rapport Mp/Mc constant, pour une Cellule de résonance 503Hz et d'amortissement 2 sec., permet de passer d'une forme à une autre de manière continue et d'ajuster finement le nombre de contacts.
Cette étude préliminaire sur la percussion permet de mieux comprendre la non-linéarité de l'interaction percuteur-percuté qui est commune à tous les phénomènes de percussion. Un prolongement de ce travail consiste à enrichir la structure vibrante et à faire le lien avec la connaissance du modèle de percussion présenté. La connaissance approfondie de la relation percussive permettra d'entrevoir les palettes sonores des instruments de percussion. L'identité et l'expressivité des formes de percussion seront ainsi accessibles. Des structures virtuelles pourront être alors percutées avec toute la richesse expressive d'une vraie relation musicale instrumentiste / corps sonore.
[Cadoz et al. 1990] Cadoz C., Luciani A. et Florens JL. , CORDIS-ANIMA : Système de modélisation et de simulation d'instruments et d'objets physiques pour la création musicale et l'image animée, Collection "Recherche Musique et Danse", Actes du colloque "Modèle physique, création musicale et ordinateur" organisé par l'ACROE Grenoble 90, Ed. Maison des Sciences de l'Homme, Paris 94.
[Castellengo 1987] Castellengo M., Les sources acoustiques, in D. Mercier (Ed.) Le livre des techniques du son, tome 1, Paris, Editions Fréquences, pp.45-70.
[Doutaut et al. 1994] Doutaut V. and Chaigne A., "Numerical simulations of bar percussion instruments", Journal de physique IV, Colloque C5, Suppl. JP III, Vol 4.
[Fourcade et al. 1996] Fourcade P. et Cadoz C., "Sound synthesis by physical modelling: an elementary striker.", actes du colloque Forum Acusticum, Antwerpen, Avril 96, suppl. 1.
[Ghosh 1932] Ghosh M. , India J. Phys. 7, pp. 365-382.
[Stulov 1995] Stulov A., "Hysteretic model of the grand piano hammer felt", Journal of the Acoustical Society of America, 97, pp. 2577-2585.
Figure 9 percussion de forme L, sensation d'une attaque double.
Figure 10 abscisse : échelle des temps en secondes, ordonnée : échelle des fréquences en Hz, Les sons M sont le siège d'une modulation de fréquence durant l'attaque.